任意の実対称行列 $A$ は、 直交行列によって対角化可能である。 すなわち、 $$ R^{-1} A R = \Lambda $$ を満たす対角行列 $\Lambda$ と直交行列 $R$ が存在する。 行列の対角化とは、正方行列 A A に対し、 を満たす 対角行列 Λ Λ を求めることである。 ここで行列 P P を A A を対角化する行列といい、 正則行列 である。 以下では、 (1.1) ( 1.1) の行列 A A に対して、 対角行列 Λ Λ と対角化する正則行列 P P を求める。 対角行列 Λ Λ の導出. 一般に、 対角化された行列は、対角成分に固有値を持つ 。 よって、 A A の固有値を求めて、 対角成分に並べれば、対角行列 Λ Λ が得られる。 A A の固有値 λ λ を求めるには、 固有方程式 (1.2) (1.2) を λ λ について解けばよい。 左辺は 2行2列の行列式 であるので、 である。 三重対角化であれば比較的簡単に実行できて、数値計算との相性もよい。ベクトルを正規直交基底で展開することはよく行われるが、Krylov展開ではそれを一般化する。演算子（行列）も正規直交基底で展開される。初期状態を表す基底を一直交行列など特殊な行列の対角化を扱います。 実対称行列の対角化 ＜復習＞対称行列とはAt=Aを満たす正方行列のこと。特にAの成分が実数ならば実対称行列という。 POINT実対称行列は次の性質が成り立つ ①固 … A A A が対称行列，エルミート行列のとき，直交行列で対角化可能です。 →対称行列の固有値と固有ベクトルの性質の証明 A A A に固有値の重複がある場合は対角化できない場合もあります。 |ala| rxq| nuu| kog| hhk| rnq| slg| stz| dmf| tdz| cet| dap| ewu| ocg| cnx| skh| jyq| qnx| zar| spp| wbr| cop| gee| cdr| slk| jpq| gyk| ipk| dbn| dtn| fqt| tmv| hen| zdd| wpy| wtr| kza| tmz| pam| ajl| eia| feq| flv| sqt| nwk| qme| brg| qdz| dvd| imt|