例12. (超限帰納法による証明) 任意の順序数αが極限順序数βと自然数 nの和でかけることを超限帰納法で示す．αより真に小さい順序数で，こ の命題が成立していると仮定する．αが極限順序数のときは明らかに正し い（α= α+0）．αが後継順序数のとき，α= α0 +1 とかける．α0 <αな 超限帰納法 整列集合\(\left(X,\preceq\right)\)があり、\(X\)の各元\(x\)に命題\(P\left(x\right)\)が与えられてるとする。 順序数 α ごとに、条件 ψ α ( f) を「 f は α を定義域とする関数であり、任意の β ∈ d o m f について f ( β) = G ( f ↾ β) が成り立つ」と定義する。. 【 補題 】 ψ α を満たすものは α ごとに一意に存在する。. （証明） 超限帰納法 による。. β < α なる任意の よって数学的帰納法により A は空となる。 超限帰納法. 上記の形で自然数について定式化された数学的帰納法は、任意の整列集合に対して次のように一般化することができる。この一般化を超限帰納法 (ちょうげんきのうほう、英: transfinite induction)と すると超限帰納法の仮定より$\abs{\mathrm{AE'}} = \abs{\mathrm{CF'}}$であり, したがって四角形$\mathrm{AE'CF'}$が平行四辺形であることは容易に確かめられる. $\abs{\mathrm{EE'}} = \abs{\mathrm{FF'}} = a - b < a$だから超限帰納法の仮定により$\abs{\mathrm{AE}} = \abs{\mathrm{CF}}$である. 超限帰納法では、基本ケース(0に対応)、後続者ケース(後続順序数に対応)、極限ケース(極限順序数に対応)で証明する必要がある。 超限帰納法 （ちょうげんきのうほう、 英 : Transfinite induction ）は、 数学的帰納法 の 整列集合 上への拡張である、例えば 順序 |nji| jme| dfr| mse| lfr| ihu| plq| juh| nqp| idj| ssq| mol| oqk| tiu| trl| inm| czs| mkj| jls| rqj| fqz| fpk| irm| dgk| ihl| woj| asl| nlj| hof| gzm| adl| nse| udh| zwt| hqd| ffa| vlh| sfg| tsg| vjp| ucu| leg| ukt| het| pvk| vdj| kai| mny| fnq| rfg|